\chapter{阿基米德科学推导方法的统一性研究：\\基于杠杆原理的几何与物理计算}

\date{2025.08.26}
				
		\begin{abstract}
			本文旨在系统性地研究与重现古希腊学者阿基米德(Archimedes, 287-212 BC)的核心科学发现及其推导过程。研究聚焦于其方法中深刻的统一性：将杠杆原理作为一种原始的"机械计算机"，用以求解复杂的几何与物理量。论文详细重构了杠杆原理本身的公理化推导，并以此为基础，阐述了球体表面积与体积、抛物线弓形面积、圆周率近似值、浮力定律以及密度概念的产生过程。分析表明，阿基米德通过"量子化"与"力学平衡"的思想，将无穷级数求和与连续几何形态的度量问题转化为离散的、可计算的力学模型，这一思想远超越其时代，是积分学与计算物理的雏形。
			
			\noindent\textbf{关键词：} 阿基米德；杠杆原理；穷竭法；机械计算；流体静力学
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		阿基米德的工作代表了古希腊科学的顶峰。他的非凡之处不仅在于一系列具体的结论，更在于其背后高度统一且富有创造性的方法论。本文认为，阿基米德将欧几里得几何的严谨性与物理直觉相结合，灵活运用"杠杆"这一工具，构建了一套用于"计算"连续量的范式。本研究旨在用现代语言重新表述这一范式，揭示其如何将几何问题转化为力学模型，并从中精确推导出数学定理和物理定律。
		
		\section{杠杆原理的公理化推导}
		阿基米德在《论平面的平衡》中并未从实验归纳，而是从几条自明公设出发，演绎出杠杆原理。
		\begin{axiom} \label{ax:1}
			等距等重的重物必然平衡。
		\end{axiom}
		\begin{axiom} \label{ax:2}
			等重但不等距的重物不平衡，距离支点远者下倾。
		\end{axiom}
		
		\begin{theorem}[杠杆原理] \label{thm:lever}
			对于重量为 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的两个重物，它们在以支点分隔距离为 \(d_1\) 和 \(d_2\) 的杠杆上达到平衡的充要条件是：
			\begin{equation} \label{eq:lever}
				W_1 \cdot d_1 = W_2 \cdot d_2
			\end{equation}
		\end{theorem}
		
		\begin{proof}
			证明分为两步：
			\begin{enumerate}
				\item \textbf{可通约情形}：设 \(W_1 : W_2 = m : n\) ( \(m, n \in \mathbb{Z}^+\) )。将 \(W_1\) 分为 \(m\) 份，\(W_2\) 分为 \(n\) 份，每份重量 \(u\) 相等。根据公设~\ref{ax:1}，所有重量单位需等距方能平衡，故支点必满足 \(m \cdot d_1 = n \cdot d_2\)。代入 \(W_1 = m u\), \(W_2 = n u\)，即得式~\ref{eq:lever}。
				\item \textbf{不可通约情形}：若 \(W_1 / W_2\) 为无理数，采用反证法。假设在满足式~\ref{eq:lever}的距离下不平衡，则可通过微调距离找到一个平衡点，该点距离比必为一有理数，与已证的可通约情形矛盾。故原假设成立。
			\end{enumerate}
		\end{proof}
		
		\section{作为"机械计算机"的杠杆：几何度的力学推导}
		阿基米德在《方法》中描述了其发现公式的力学方法，将杠杆视为计算连续量的工具。
		
		\subsection{球体积与球表面积}
		
		\begin{figure}[H]
			\centering
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=Stealth]
				% 坐标系
				\draw[->] (0,0) -- (10,0) node[below] {$x$};
				\draw[->] (0,0) -- (0,6) node[left] {$y$};
				
				% 杠杆
				\draw[very thick] (1,5) -- (9,5);
				\draw[fill=black] (5,5) circle (0.1) node[above=3mm] {支点};
				
				% 左侧悬挂系统
				\draw (3,5) -- (3,4.5);
				\draw[fill=blue!20] (2,4.5) rectangle (4,3.5);
				\draw (2.5,3.5) -- (2,2.5);
				\draw (3.5,3.5) -- (4,2.5);
				
				% 球体
				\begin{scope}[shift={(3,1.5)}]
					\draw[fill=red!20] (0,0) circle (1);
					\draw[dashed] (0,0) -- (1,0) node[midway, above] {$r$};
					\node at (0,0) [below=2mm] {球体};
				\end{scope}
				
				% 圆锥
				\begin{scope}[shift={(2.3,1.5)}]
					\draw[fill=green!20] (0,0) -- (-0.7,-1.2) -- (0.7,-1.2) -- cycle;
					\node at (0,-1.2) [below=1mm] {圆锥};
				\end{scope}
				
				% 右侧悬挂系统
				\draw (7,5) -- (7,4.5);
				\draw[fill=blue!20] (6,4.5) rectangle (8,3.5);
				\draw (6.5,3.5) -- (6,2.5);
				\draw (7.5,3.5) -- (8,2.5);
				
				% 圆柱
				\begin{scope}[shift={(7,1.5)}]
					\draw[fill=yellow!20] (-0.7,0) rectangle (0.7,-1.2);
					\draw (-0.7,0) -- (-0.7,-1.2);
					\draw (0.7,0) -- (0.7,-1.2);
					\node at (0,-1.2) [below=1mm] {圆柱};
				\end{scope}
				
				% 距离标注
				\draw[<->] (5,5.2) -- (3,5.2) node[midway, above] {$d_1$};
				\draw[<->] (5,5.2) -- (7,5.2) node[midway, above] {$d_2$};
				
				% 力标注
				\draw[->, thick, red] (3,4.8) -- (3,4.3) node[midway, right] {$W_1$};
				\draw[->, thick, red] (7,4.8) -- (7,4.3) node[midway, right] {$W_2$};
				
				% 切片示意图
				\draw[->, thin] (1.5,2) -- (0.5,1);
				\node at (1.5,2) [right] {切片方法};
			\end{tikzpicture}
			\caption{球体、圆锥与圆柱的杠杆平衡模型}
			\label{fig:sphere}
		\end{figure}
		
		如图~\ref{fig:sphere}，将球、圆锥（高与底面半径均为 \(r\)）、圆柱（同前）沿水平方向切片。
		\begin{itemize}
			\item 将球与圆锥的切片悬挂于杠杆一端，距离支点 \(2r\)。
			\item 将圆柱的切片悬挂于另一端，距离支点 \(l\) (其自身位置)。
		\end{itemize}
		阿基米德通过几何相似性证明，对于任意高度 \(l\) 的切片，系统力矩均平衡：
		\begin{equation}
			[\pi y^2 + \pi l^2] \cdot (2r) = [\pi r^2] \cdot l
		\end{equation}
		其中 \(y\) 为球切片半径。由于每一对切片都平衡，故整体亦平衡。
		\begin{align}
			\text{球体积} (V_s) + \text{圆锥体积} (V_c) & \propto 2r \\
			\text{圆柱体积} (V_{cyl}) & \propto \bar{l} = r
		\end{align}
		已知 \(V_c = \frac{1}{3}\pi r^3\), \(V_{cyl} = 2\pi r^3\)，代入杠杆平衡公式：
		\begin{equation}
			(V_s + \frac{1}{3}\pi r^3) \cdot (2r) = (2\pi r^3) \cdot (r)
		\end{equation}
		解之得：
		\begin{equation}
			V_s = \frac{4}{3}\pi r^3
		\end{equation}
		球表面积的推导思路类似，通过平衡球壳切片与圆柱侧面积切片，最终证得 \(S = 4\pi r^2\).
		
		\subsection{抛物线弓形面积}
		
		\begin{figure}[H]
			\centering
			\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
				% 抛物线
				\draw[domain=-1.5:1.5, smooth, variable=\x, thick, blue] 
				plot ({\x}, {0.5*\x*\x});
				
				% 外接矩形
				\draw[red, dashed] (-1.5,0) -- (-1.5,1.125) -- (1.5,1.125) -- (1.5,0) -- cycle;
				
				% 初始三角形
				\draw[fill=green!20, opacity=0.6] (-1.5,1.125) -- (1.5,1.125) -- (0,0) -- cycle;
				\node at (0,0.8) [right] {$A_0$};
				
				% 次级三角形
				\draw[fill=yellow!20, opacity=0.6] (-1.5,1.125) -- (-0.75,0.28125) -- (0,0) -- cycle;
				\draw[fill=yellow!20, opacity=0.6] (1.5,1.125) -- (0.75,0.28125) -- (0,0) -- cycle;
				\node at (-0.8,0.5) [left] {$\frac{1}{4}A_0$};
				\node at (0.8,0.5) [right] {$\frac{1}{4}A_0$};
				
				% 坐标轴
				\draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[below] {$x$};
				\draw[->] (0,-0.5) -- (0,2) node[left] {$y$};
				
				% 标注
				\node at (1.8,1.8) [right] {抛物线 $y=ax^2$};
				\draw[<->] (-1.5,-0.2) -- (1.5,-0.2) node[midway, below] {外接矩形宽度};
				\draw[<->] (1.6,0) -- (1.6,1.125) node[midway, right] {高度};
			\end{tikzpicture}
			\caption{抛物线弓形的三角形分割与穷竭过程}
			\label{fig:parabola}
		\end{figure}
		
		设抛物线弓形及其外接矩形。阿基米德采用穷竭法：
		\begin{enumerate}
			\item 作内接三角形，其面积为 \(A_0\)。
			\item 在剩余空间续作新三角形，其面积之和为 \(A_1 = \frac{1}{4}A_0\)。
			\item 重复此过程，得一级数：
			\begin{equation}
				A = A_0 + \frac{1}{4}A_0 + (\frac{1}{4})^2 A_0 + \cdots = A_0 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^n
			\end{equation}
			\item 求此无限级数和：
			\begin{equation}
				A = A_0 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} A_0
			\end{equation}
		\end{enumerate}
		他进而证明该面积亦等于外接矩形面积的 \(2/3\).
		
		\subsection{圆周率（$\pi$）的计算}
		阿基米德通过割圆术计算$\pi$。
		\begin{itemize}
			\item 从正六边形开始，计算圆内接与外切正多边形的周长。
			\item 利用勾股定理，倍边数的正多边形周长。
			\item 计算至正96边形，得到不等式：
			\begin{equation}
				3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}
			\end{equation}
		\end{itemize}
		此过程本质上是计算一个收敛数列的极限。
		
		\section{流体静力学定律的推导}
		\subsection{浮力定律与排水体积}
		阿基米德通过思想实验推导浮力定律。
		\begin{itemize}
			\item 设想一物体完全浸没在流体中。
			\item 物体所受压力因其深度而异，下方压力大于上方压力，净效果为一个向上的力，即浮力。
			\item 考虑物体所排开的流体部分。该部分流体在原处处于平衡状态，故其所受重力与周围流体对它的浮力大小相等。
			\item 因此，物体所受浮力等于它排开流体的重量：
			\begin{equation}
				F_b = \rho_{\text{fluid}} \cdot g \cdot V_{\text{displaced}}
			\end{equation}
		\end{itemize}
		
		\subsection{密度概念的提出}
		浮力定律自然引出了密度概念。通过比较物体在空气与流体中的重量（"阿基米德称重法"），可求解物体密度或流体密度：
		\begin{equation}
			\rho_{\text{object}} = \frac{W_{\text{air}}}{W_{\text{air}} - W_{\text{fluid}}} \cdot \rho_{\text{fluid}}
		\end{equation}
		此法还可用于鉴定金属纯度（如赫农王冠）。
		
		\section{结论}
		阿基米德的科学成就源于其统一的方法论：他将复杂的连续性问题离散化（量子化），并巧妙利用杠杆的力学平衡原理作为计算工具，将几何比例的求解转化为力学力矩的等式。这种将物理直觉与数学严谨性相结合的方法，使其成功推导出了球体积、球表面积、抛物线面积等几何公式，精确计算了圆周率，并建立了浮力定律和密度概念。他的工作不仅是古代科学的奇迹，更蕴含着近代微积分和计算物理的思想萌芽，展现了超越时代的深刻洞察力。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{archimedes}
			Archimedes, \textit{The Works of Archimedes}, T. L. Heath (ed.), Cambridge University Press, 1897.
			\bibitem{netz}
			Netz, R., \textit{The Shaping of Deduction in Greek Mathematics}, Cambridge University Press, 1999.
			\bibitem{dijksterhuis}
			Dijksterhuis, E. J., \textit{Archimedes}, Princeton University Press, 1987.
			\bibitem{jaeger}
			Jaeger, M., \textit{Archimedes and the Roman Imagination}, University of Michigan Press, 2008.
		\end{thebibliography}
		